Annen Ordens Moving Average Filteret

Eksponentiell filter. Denne siden beskriver eksponensiell filtrering, det enkleste og mest populære filteret Dette er en del av avsnittet Filtrering som er en del av En veiledning til feilsøking og diagnose. Overblikk, tidskonstant og analoge. Det enkleste filteret er eksponensielt filter Den har bare en avstemningsparameter annet enn prøveintervallet. Det krever lagring av bare en variabel - den forrige utgangen. Det er et IIR-autoregressivt filter. Effektene av en inngangsendring forfaller eksponentielt inntil grensene for skjermene eller datamaskinens aritmetiske skjuler det. I ulike disipliner kalles bruk av dette filteret også som eksponensiell utjevning. I noen disipliner som investeringsanalyse kalles eksponentielt filter en eksponentielt vektet flytte gjennomsnittlig EWMA, eller bare eksponentiell flytende gjennomsnittlig EMA. Dette misbruker den tradisjonelle ARMA-glidende gjennomsnittlige terminologien av tidsserieanalyse, siden det ikke er noen inngangshistorie som brukes - bare gjeldende inngang. Det er den diskrete ti meg ekvivalent av førsteordensforsinkelsen som vanligvis brukes i analog modellering av kontinuerlig styringssystemer I elektriske kretser er et RC-filterfilter med en motstand og en kondensator en førsteordringsforsinkelse. Ved å understreke analogien til analoge kretser, kan enkeltstemmingsparameteren er tiden konstant, vanligvis skrevet som små bokstaver gresk bokstav Tau Faktisk stemmer verdiene på de diskrete prøvetidene nøyaktig overens med tilsvarende kontinuerlige tidsforsinkelse med samme tidskonstant. Forholdet mellom digital implementering og tidskonstanten vises i ligninger nedenfor. Eksponensielle filterekvasjoner og initialisering. Det eksponensielle filteret er en vektet kombinasjon av forrige estimatutgang med de nyeste inndataene, med summen av vektene lik 1 slik at utgangen stemmer overens med inngangen ved steady state. Etter filternotasjonen allerede introdusert. ykay k-1 1-ax k. where xk er den råinngangen til tiden, step kyk, er den filtrerte utgangen på tidspunktet trinn ka er et co nstant mellom 0 og 1, normalt mellom 0 8 og 0 99 a-1 eller a kalles noen ganger utjevningskonstanten. For systemer med et fast tidssteg T mellom prøver blir konstanten a beregnet og lagret for enkelhets skyld bare når applikasjonsutvikleren spesifiserer en ny verdi av ønsket tidskonstant. hvor tau er filtertidskonstanten, i samme tidsenheter som T. For systemer med datasampling i uregelmessige intervaller, må den eksponensielle funksjonen ovenfor brukes med hvert trinn, hvor T er tiden siden den forrige prøven. Filterutgangen blir vanligvis initialisert for å matche den første inngangen. Når tidskonstanten nærmer seg 0, a går til null, så det er ingen filtrering av utgangen tilsvarer det nye inngangen. Da tidskonstanten blir veldig stor , en tilnærming 1, slik at ny inngang nesten ignoreres veldig tung filtrering. Filterligningen ovenfor kan omarrangeres til følgende prediktor-korrigerende ekvivalent. Dette skjemaet gjør det mer tydelig at variabelen anslår utgangen av filteret i s forutsatt uendret fra det forrige estimatet y k-1 pluss en korreksjonsperiode basert på den uventede innovasjonen - forskjellen mellom den nye inngangen xk og prediksjonen y k-1 Dette skjemaet er også et resultat av å avlede det eksponensielle filteret som en Enkelt spesielt tilfelle av et Kalman-filter, som er den optimale løsningen på et estimeringsproblem med et bestemt sett av antagelser. Sporrespons. En måte å visualisere driften av eksponentielt filter på er å plotte sitt respons over tid til et trinninngang. Det er, starter med filterinngang og - utgang ved 0, blir inngangsverdien plutselig forandret til 1 De resulterende verdiene er plottet under. I det ovennevnte tegnet deles tiden med filtertidskonstanten tau, slik at du lettere kan forutsi resultatene for noen tidsperiode, for en hvilken som helst verdi av filtertidskonstanten Etter en tid som er lik tidskonstanten, øker filterutgangen til 63 21 av den endelige verdien Etter en tid lik 2 tidskonstanter, øker verdien til 86 47 av sin endelige verdi Utgangene etter tidene lik 3,4 og 5 tidskonstanter er henholdsvis 95 02, 98 17 og 99 33 av sluttverdien. Siden filteret er lineært betyr dette at disse prosentandelene kan benyttes for hvilken som helst trinn av trinnet endre, ikke bare for verdien av 1 som brukes her. Selv om trinnresponsen i teorien tar en uendelig tid, tenker du på det eksponensielle filteret som 98 til 99 ferdigstilt etter en tid lik 4 til 5 filtertidskonstanter. Variasjoner på det eksponensielle filteret. Det er en variasjon av det eksponensielle filteret kalt et ikke-lineært eksponensielt filter Weber, 1980 ment å sterkt filtrere støy innenfor en bestemt typisk amplitude, men deretter reagere raskere på større endringer. Copyright 2010 - 2013, Greg Stanley . Del denne siden. Signalbehandling av digitale filtre. Digitale filtre er essensielt samplede systemer Inngangs - og utgangssignalene er representert av prøver med like tidsavstand. Finit Impulse Response FIR-filtre er preget av en ti meg svaret avhenger kun av et gitt antall av de siste prøvene på inngangssignalet. I andre tilfeller når inngangssignalet har falt til null, vil filterutgangen gjøre det samme etter et gitt antall prøvetidsperioder. Utdata-yk er gitt av en lineær kombinasjon av de siste inngangsprøver xk i. Koeffisientene bi gir vekten for kombinasjonen De svarer også til koeffisientene til telleren for z-domene-filteroverføringsfunksjonen. Følgende figur viser et FIR-filter i rekkefølge N 1.For lineære fasefiltre, koeffisientverdiene er symmetriske rundt midtpunktet og forsinkelseslinjen kan foldes tilbake rundt dette midtpunktet for å redusere antall multiplikasjoner. Overføringsfunksjonen til FIR-filtre strekker bare en teller. Dette tilsvarer en all - null filter. FIR-filtre krever vanligvis høye ordrer, i størrelsesorden flere hundrevis, slik at valget av denne typen filtre vil trenge en stor mengde maskinvare eller CPU Til tross for dette er en grunn t o Velg en FIR-filter implementering er evnen til å oppnå en lineær fase respons, noe som kan være et krav i noen tilfeller Likevel har fiter designeren muligheten til å velge IIR filtre med en god fase linearitet i passbåndet, for eksempel Bessel filtre eller å designe et all-pass filter for å korrigere faseresponsen til et standard IIR-filter. Gjennomsnittlige filtre MA Edit. Moving Gjennomsnittlig MA-modeller er prosessmodeller i form. MA-prosesser er en alternativ representasjon av FIR-filtre. gjennomsnittet av de N siste prøvene av et signal. Det er den enkleste formen av et FIR-filter, med alle koeffisientene like. Overføringsfunksjonen til et gjennomsnittlig filter er gitt av. Overføringsfunksjonen til et gjennomsnittlig filter har N like fordelte nuller langs frekvensaksen Imidlertid er nullen ved DC maskert av polen av filteret. Derfor er det en større lobe en likestrøm som utgjør filterpassbåndet. Cascade Integrator-Comb CIC Filters Edit. A Cas caded integrator-comb filter CIC er en spesiell teknikk for implementering av gjennomsnittlige filtre i serie Serieplasseringen av de gjennomsnittlige filtre forbedrer den første loben i DC sammenlignet med alle andre lobes. Et CIC-filter implementerer overføringsfunksjonen til N gjennomsnittlige filtre, hver beregning gjennomsnittet av RM-prøver Dens overføringsfunksjon er således gitt av. CIC-filtre brukes til å dekimere antall prøver av et signal med en faktor R eller, i andre termer, å resample et signal med lavere frekvens, kaste bort R 1 prøver ut av R Faktoren M angir hvor mye av den første loben som brukes av signalet Antallet av gjennomsnittlige filterstrinn, N indikerer hvor godt andre frekvensbånd er dempet, på bekostning av en mindre flat overføringsfunksjon rundt DC. CIC struktur gjør det mulig å implementere hele systemet med bare adders og registers, ikke bruk noen multiplikatorer som er grådige når det gjelder hardware. Downsampling med en faktor R tillater å øke signaloppløsningen med log 2 R R bits. Canonical filters Edit. Canonical filtre implementerer en filteroverføringsfunksjon med et antall forsinkelseselementer som tilsvarer filterbestillingen, en multiplikator per teller koeffisient, en multiplikator per nevner koeffisient og en rekke adders. På samme måte som aktive filtre kanoniske strukturer, dette slags kretser viste seg å være svært følsomme overfor elementverdier, en liten endring i koeffisienter hadde stor effekt på overføringsfunksjonen. Her har også utformingen av aktive filtre skiftet fra kanoniske filtre til andre strukturer som kjeder av andre ordens seksjoner eller Leapfrog filters. Chain of Second Order Sections Edit. En annen rekkefølge som ofte refereres til som biquad implementerer en andre ordreoverføringsfunksjon. Overføringsfunksjonen til et filter kan deles inn i et produkt av overføringsfunksjoner som hver er knyttet til et par poler og muligens et par av nuller Hvis overføringsfunksjonens rekkefølge er merkelig, må en første ordningsavdeling legges til kjeden Denne delen er tilknyttet ed til den virkelige polen og til den reelle null hvis det er one. direct-form 1.direct-form 2.direct-form 1 transposed. direct-form 2 transposed. The direkte form 2 transponert av følgende figur er spesielt interessant i form av nødvendig maskinvare samt signal - og koeffisientkvantisering. Digitale Leapfrog-filter Edit. Filter Structure Edit. Digital Leapfrog-filtre base på simuleringen av analoge aktive Leapfrog-filtre. Oppmuntringen for dette valget er å arve fra de gode passeboksfølsomhetsegenskapene til original ladderkrets. Følgende fjerde rekkefølge allpolet lowpass leapfrog filter. can bli implementert som en digital krets ved å erstatte analoge integratorer med akkumulatorer. Plassering av analoge integratorer med akkumulatorer tilsvarer forenkling av Z-transformasjonen til z 1 s T som er de to første betingelsene i Taylor-serien zexps T Denne tilnærmingen er god nok for filtre hvor samplingsfrekvensen er mye høyere enn signalbåndbredden. Transfer Func Forklaring av tilstandsrommet for den foregående filtre kan skrives som. Fra denne ligningssett kan man skrive A-, B-, C-, D-matrisene as. From denne representasjonen tillater signalbehandlingsverktøy som Octave eller Matlab å plotte filterets frekvensrespons eller for å undersøke dens nuller og poler. I det digitale hoppetekstfilteret fastsetter koeffisientens relative verdier formen av overføringsfunksjonen Butterworth Chebyshev, mens deres amplituder angir cutofffrekvensen. Deler alle koeffisientene med en faktor på to skifter cutofffrekvensen ned med en oktav også en faktor på to. Et spesielt tilfelle er Buterworth 3: e rekkefølgefilteret som har tidskonstanter med relative verdier på 1, 1 2 og 1 På grunn av dette kan dette filteret implementeres i maskinvare uten noen multiplikator, men bruk skift istedenfor. Utviklede filtre AR Edit. Autoregressive AR-modeller er prosessmodeller i skjemaet. Hvor un er utdataene fra modellen, xn er inngangen til modellen, og un-m er previou s-eksempler på modellutgangsverdien Disse filtrene kalles autoregressive fordi utdaterværdier beregnes basert på regressjoner fra tidligere utdataverdier AR-prosesser kan representeres av en allpolig filter. ARMA-filtre Edit. Autoregressive Moving-Average ARMA-filtre er kombinasjoner av AR og MA-filtre Filterets utgang er gitt som en lineær kombinasjon av både vektede inngangs - og vektede utgangsprøver. ARMA-prosesser kan betraktes som et digitalt IIR-filter, med både poler og nuller. AR-filtre foretrekkes i mange tilfeller fordi de kan analyseres ved hjelp av Yule-Walker-ligningene MA - og ARMA-prosesser, derimot, kan analyseres ved kompliserte, ikke-lineære ligninger som er vanskelige å studere og modell. Hvis vi har en AR-prosess med trykkvektskoeffisienter aa vektor av en , en - 1 en inngang på xn og en utgang fra yn kan vi bruke yule-walker-ligningene. Vi sier at x 2 er variansen til inngangssignalet. Vi behandler inngangsdata-signalet som en rando m-signal, selv om det er et deterministisk signal fordi vi ikke vet hva verdien vil være før vi mottar det. Vi kan uttrykke Yule-Walker-ligningene som. Hvor R er krysskorrelasjonsmatrisen til prosessutgangen. Og r er autokorrelasjonsmatrisen av prosessutgangen. Varians Edit. We kan vise det. Vi kan uttrykke inngangssignalvarianen som. Og, utvide og erstatte for r 0 kan vi relatere utgangsvarianansen til prosessen til inngangsvarianen.2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan omfatte autoregressive termer og eller bevegelige gjennomsnittlige termer. I uke 1 lærte vi et autoregressivt uttrykk i en tidsseriemodell for variabelen. Xt er en forsinket verdi på xt. For eksempel, et lag 1 autoregressivt uttrykk er x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, noe som betyr at Vekten er identisk, inde pendent distribuert, hver med en normal fordeling som har gjennomsnittlig 0 og samme varians. Den 1 st ordningsgjøre gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike i lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner på lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA 1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Eksemplet ACF for de simulerte dataene følger. Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en invertibel modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av årsakssammensetningen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers ser serien ut.